이해하는 미적분 수업

단순히 외우는 미적분을 넘어
그 핵심을 이해하자

“미적분의 핵심에 대한 간결한 안내서. 미적분이 어디서 왔고, 무엇을 위해 쓰이며, 어떻게 발전해왔는지를 간결하고 매력적이며 흥미롭게 설명한다. 초심자에게 이상적인 입문서다. 미적분에 관심이 있는 모두에게 추천한다.” ― 이언 스튜어트, 《세계를 바꾼 17가지 방정식》의 저자

누구나 한 번쯤은 미적분을 배우지만 그 핵심 아이디어가 무엇이고, 무엇을 위해 배우는지 이해하는 사람은 많지 않다. 아마 이것이 미적분 공부를 포기하게 되는 주요 이유 아닐까? 미적분학의 발전은 위대한 수학자들의 지적 모험이었다. 거의 모든 곳에 무한이라는 골치 아픈 개념이 끼어들었기 때문이다. 이 책에서 응용 수학자 데이비드 애치슨은 고대 그리스에서 출발해 오늘날까지 미적분이라는 수학의 지적 모험을 추적한다. 아르키메데스, 뉴턴, 라이프니츠, 오일러 등의 원작을 바탕으로 왜 미적분이 필요했고 어떻게 발전했는지를 추적하며 미적분의 등장과 발전 그리고 그 응용에 대한 전체적인 그림을 보여준다. 이와 더불어 미적분이 행성 운동 법칙과 유체역학, 양자역학, 카오스이론 등과 어떤 관계를 맺고 있는지 소개한다. 이 책을 통해 독자들은 수학적 기술에 대한 미시적 접근을 넘어 미적분에 대한 전체적인 그림을 그려보고 왜 미적분이 필요하고 그것을 배워야 하는지 이해할 수 있을 것이다.

역사를 통해 미적분을 이해하다
미적분은 어느 날 하늘에서 갑자기 떨어진 것이 아니다. 기원전 220년경 무한대 개념을 최초로 활용한 아르키메데스, 좌표기하학을 만든 데카르트, 페르마, 무한대 기호를 최초로 도입하고 적극적으로 활용한 월리스와 같은 수학자의 연구 결과가 미적분학 연구의 기초가 되었다. 뉴턴과 라이프니츠는 이런 서로 관련 없어 보이는 수많은 연구 결과를 미적분의 개념과 법칙으로 정리한 사람이었다. 오늘날 수학의 역사를 연구한 수학자 대부분은 뉴턴과 라이프니츠가 서로 독립적이며 다른 방식으로 미적분학을 만들었다고 생각한다. 저자는 이 역사적 과정을 추적하며 미적분의 토대가 되는 개념들이 어떻게 등장하고 통합되어 미적분으로 이어졌는지를 그린다. 독자는 이 과정을 통해 극한, 무한급수, 무한소 등의 개념이 미적분과 어떤 관계를 갖는지 이해할 수 있을 것이다.

미적분은 자연을 이해하기 위한 핵심 수단이다
1666년 아이작 뉴턴은 여름 정원의 사과나무에서 사과가 떨어지는 것을 보고 중력 이론을 발견했다고 전해진다. 실제 여러 과정이 지나치게 축소되었겠지만 이 이야기야말로 미적분을 소개하기에 아주 적당하다. 사과는 떨어지면서 속력이 점점 빨라지는 운동을 하는데, 미적분을 이용하면 아주 쉽게 중력가속도를 구할 수 있기 때문이다. 자연계는 변화로 둘러싸여 있기에 미적분학의 등장은 수학과 과학에서 커다란 돌파구였다.
당시 중력이 1/r2에 비례한다는 중력의 역제곱 법칙은 런던의 수학자와 과학자에게는 차를 마시며 논쟁하는 단골 주제였다. 이 논쟁은 훗날 뉴턴이 타원 궤도를 도는 행성과 태양의 관계를 증명한 뒤에야 정리되었다. 뉴턴의 원고를 보면 뉴턴이 증명을 위해 기하학적인 방법을 사용한 것처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않았다. 뉴턴은 중력의 역제곱 법칙을 증명하는 데 극한을 가정하는 미적분학의 핵심 아이디어를 증명 과정에서 매우 중요하게 사용했다.
이렇듯 미적분은 단순한 수학적 필요에 의해서 등장하지 않았다. 변화를 다룰 수 있는 미적분은 변화로 둘러싸인 자연계를 이해하는 핵심 수단이었다. 이런 동기가 미적분학의 발전을 이끌었다. 이는 라이프니츠의 사례를 통해서도 잘 들어난다.
1684년 <학술기요>에 발표한 미적분 대한 라이프니츠의 첫 논문 말미에는 자신이 발명한 미적분이 실제 세계에 어떻게 적용할 수 있는지 설명한다. 그중 가장 대표적인 것이 빛이 서로 다른 두 매질을 자날 때 어떤 경로가 가장 빠른지 찾는 최소 시간 문제다. 라이프니츠는 미적분을 이용하면 빛이 이동하는 가장 빠른 경로가 무엇인지 쉽게 구할 수 있음을 보였다.
이 두 역사적 사례는 미적분이 물리적 세계에 대한 문제를 해결하는 과정에서 태어났음을 보여준다. 더욱이 오일러가 물리 문제를 미분방정식으로 나타내면서 자연계에 대한 우리의 이해는 더욱 깊어지게 되었고, 카오스이론, 양자역학 등으로 이어지게 되었다. 이 책은 미적분의 응용 사례들을 풍부하게 제공함으로써 과학의 맥락 속에서 미적분을 이해할 수 있게 한다.