세상을 이해하는 아름다운 수학 공식

<세상을 이해하는 아름다운 수학 공식> "일상의 복잡한 문제를 단순하게 풀어내는
‘강력한 생존 도구’는 수학이다!

★★★ 최영기(서울대학교 수학교육과 교수)ㆍ이상엽(수학 유튜버) 강력 추천! ★★★



◎ 도서 소개

세상의 법칙을 이해하는 18가지 방정식
“삶의 문제를 명쾌하게 해결하고 싶다면 수학이 필요하다!”

우리는 우주가 어떤 일정한 ‘법칙’을 따른다는 것을 알고 있다. 그 법칙은 과학이라고 불리고 수학이라는 언어로 표현된다. 이 수학 언어의 법칙이 바로 ‘방정식’이다. 은하가 형성되는 것이든 어린아이 얼굴에 주근깨가 생기는 것이든, 모든 것은 방정식의 결과를 따른다. 본능에 주로 의존하는 사람이든 질서를 우선시하는 꼼꼼한 사람이든, 인간의 삶에서 거의 모든 부분을 지배하는 것도 방정식이다.
의식하고 있지 않지만 횡단보도를 건널 때도 미분방정식을 이용해 안전한지를 확인한다. 방정식은 러시아워에 운전할 때 앞차와의 안전거리를 유지할 수 있도록 도움을 주기도 하고, 자동차 보험료를 계산해야 할 때도 유용하다. 물론 그보다 더 극적인 상황에서도 매우 큰 도움을 줄 수 있다.
전염성 질병의 전파 속도를 예측해야 한다면? 엔진이 고장 나서 추락하는 비행기에 있다면? 바다에서 유출된 기름이 국제적인 사고로 번지지 않도록 막아야 할 책임을 지고 있다면? 이런 위태롭고 긴급한 상황에서 해결책을 찾는 데 필요한 도구도 방정식이다.
이 책은 복잡한 수식의 나열을 피하면서 시간, 거리, 속도를 쉽게 계산하는 방법에서부터 열역학 법칙과 궤도 역학까지 간단한 그림과 설명을 통해 세상을 이해하는 관점을 제공한다. 오일러 방정식, 드레이크 방정식, 뉴턴의 운동 법칙 등의 공식을 적용해 생존이 위협받는 가상의 상황에서 어떻게 수학 공식을 적용해 문제를 해결할지를 뛰어난 재치와 유머를 발휘해 펼쳐낸다. 책에서 소개하는 문제 상황을 하나씩 해결하는 과정에서 독자는 수학이 주는 카타르시스를 깊이 느낄 수 있다.
저자 크리스 워링은 마치 수학자가 바로 옆에 앉아 도움을 주듯 당신이 학교 졸업 후 잊어버렸을 수학 공식과 풀이 과정을 상세하게 알려준다. 그는 어린이와 수험생에게 수학을 가르치는 교사로, 수학을 쉽게 가르치는 자신의 장점을 살려 《나도 한때 수학을 알았는데 I Used To Know That: Maths》 《0에서 무한까지 : 2,600년 동안의 특별한 수학 이야기》 등 여러 권의 책을 저술했다. 이 책은 저자가 수년간의 강의 경험을 녹여내 출간한 책으로, 2020년 출간 당시 아주 기초적인 수학 실력만으로도 ‘수학적 사고’를 가능하게 하는 친절하고 유쾌한 책으로 평가받았다.
복잡한 문제가 수학자가 아닌 사람들도 이해할 수 있을 정도로 간단하게 증명되는 순간을 ‘우아한 순간’이라고 하는데, 이 책을 통해 당신은 그 순간을 자주 접하게 될 것이다. 나아가 수학이 과연 일상에서 얼마만큼의 쓸모를 가진 학문인지 의문을 품는 사람에게는 더없이 훌륭한 참고점이 될 것이다.

☞ 함께 읽으면 좋은 21세기북스의 책
▶ 이토록 아름다운 수학이라면 | 최영기 지음 | 15,000원
▶ 이런 수학은 처음이야 1/2 | 최영기 지음 | 15,800원


◎ 출판사 서평

누구에게나 ‘수학’이 필요하다
방정식이 최고의 ‘정답’을 찾아낸다!

이 책은 일상에서 종종 마주하는 문제들을 어떻게 수학적 사고를 발휘해 해결할지를 오일러 항등식, 드레이크 방정식 등의 공식을 적용해 풀어나간다. 나아가 생존을 위해 어떻게 수학을 이용할지를 뛰어난 재치와 유머를 발휘해 펼쳐낸다.

달리는 기차를 따라잡기 위해 얼마만큼의 속도로 달려야 할지(물체의 속도 계산법), 단시간에 빠르게 돈을 불릴 수 있는 방법은 무엇인지(오일러 방정식), 모두가 만족하는 좌석 배치를 위해 어떻게 할지(순열과 조합), 맛있는 반숙을 위한 적정한 온도를 설정하는 법(열역학 방정식), 짐을 효과적으로 싸는 방법(피타고라스 정리의 3차원 버전)에 관한 일상의 문제에서부터 우리 은하에 인간과 접촉할 수 있는 외계 문명이 얼마나 있을지(드레이크 방정식)와 추락하는 비행기에서 살아남을 아이디어(종단속도)를 여러 수학 공식을 동원해 해결해나가는 모습을 보면, 방정식으로 세상을 구원한다면 아마도 이런 모습이 아닐까 상상하게 된다.

크리스 워링은 수학자들이 오랫동안 관심을 가져온 실생활의 문제들을 제시하고, 그에 대한 해답을 수학 공식을 통해 해결해내는 과정을 아주 구체적으로 거기다 유머까지 곁들여 보여준다. 책에서 소개하는 문제 상황을 해결하기 위해 방정식을 저자의 친절한 설명에 따라 차근히 풀어가다 보면 ‘수학이 주는 카타르시스’를 깊이 느끼게 될 것이다. 인생의 온갖 문제를 수학 문제를 풀듯 딱 떨어지고 명쾌하게 해결하고 싶다면, 이 책이 소개하는 18가지 방정식이 큰 도움이 되어줄 것이다.

우리의 생각을 한 단계 넘어서는 탁월한 사고의 틀
“원주율 파이(π)는 생존을 위한 파이(pie)가 될 수 있다”

누구나 수학의 도움이 필요하다. 본질적으로 수학은 우리 주변의 세계를 설명하기 위해 사용해온 ‘합의된 언어’이며, 우리가 현실에서 부딪히는 다양한 일상적 문제들에 대해 언제나 해답을 제공하는 가장 ‘강력한 생존 도구’이기도 하다. 아이작 뉴턴이나 알베르트 아인슈타인 같은 천재도 자신의 아이디어를 수학의 언어로 표현하느라 고생한 적이 있었다. 이 두 천재도 수학자들의 도움을 받았다.

삶에서 문제를 마주하는 순간 당신에게도 수학적 지도와 도움이 곁에 있다면 좋을 것이다. 상황에 맞게 필요한 방정식을 적확하게 쓴다는 것은, 갇힌 사고의 틀에서 벗어나 새로운 관점에서 문제를 해결하는 눈을 가진다는 뜻이다. 그러나 문제를 수학적으로 사고하는 능력은 단시간에 기를 수 있는 종류의 것이 아니다. 이 책의 장점은 아주 기초적인 수학 실력만으로도 ‘수학적 사고’를 가능하게 하는 친절함과 구체적인 설명에 있다.

더불어 이 책의 저자는 ‘수학의 쓸모’에 대해 묻는 질문에 효과적인 답을 마련해놓고 독자에게 읽는 재미까지 더해준다. 수학적 사고를 완전가동시킬 수 있도록 구체적인 사례를 제시하는데, 이를테면 전염병의 전파 경로를 ‘좀비 떼가 출몰했을 때’의 상황으로 치환하거나 맛있는 요리를 하는데 필요한 적정 온도와 시간을 구하는 법을 ‘타조알을 조리하는 법’으로, 가속도를 구할 상황에서는 ‘발차기 액션씬을 찍을 때’의 상황으로 풀어 설명하는 식이다. 누구나 호기심을 느낄 다양한 주제의 선정, 수학에 문외한인 사람도 쉽게 이해할 수 있는 친절한 서술은 이 책만이 가진 독보적인 장점이다.

본질적으로 수학은 우리가 주변의 세계를 이해하기 위해 사용해온 가장 중요한 도구다. 또한 모든 기술의 발전은 수학을 떠나서는 생각하기 힘들다. 수학은 우리가 현실에서 부딪히는 다양한 일상적 문제에 대해 언제나 해답을 제공하는 가장 강력한 ‘생존 도구’이기 때문이다. 이 책은 수학이 실제로 우리 생활 깊숙이 뿌리내리고 있다는 사실을 자연스럽게 알려준다.

저자의 유머에 한껏 웃고, 저자가 던진 질문에 탐정이 된 마음으로 수학 공식을 풀어가다 보면, 모든 사람의 삶을 지배하는 건 방정식이라는 사실을 자연스레 깨닫게 된다. 더불어 이 책은 우리의 생각을 뛰어넘는 놀랍고도 탁월한 사고의 틀을 제시해줄 것이다. 이 책이 전하는 메시지는 매우 간단하다. “원주율 파이(π)가 생존을 위한 파이(pie)가 될 수 있다”는 것이다.


◎ 추천사

이 책은 일상에서 종종 마주하는 문제들을 어떻게 수학적 사고를 발휘해 해결할지를 오일러 방정식, 드레이크 방정식, 뉴턴의 운동 법칙 등의 공식을 적용해 풀어나간다. 나아가 생존을 위해 어떻게 수학을 이용할지를 뛰어난 재치와 기지를 발휘해 펼쳐낸다. 달리는 기차를 따라잡기 위해 어느 속도로 달려야 할지, 모두가 만족하는 좌석 배치를 위해 어떻게 할지에 관한 일상의 문제에서부터 추락하는 비행기에서 살아남을 아이디어를 여러 수학 공식을 동원해 해결해나가는 모습을 보면, 방정식으로 세상을 구원한다면 아마도 이런 모습이 아닐까 상상하게 된다.
인생의 온갖 문제를 수학 문제를 풀듯 딱 떨어지고 명쾌하게 해결하고 싶다면, 이 책을 추천한다. 이 책은 깊이 탐구해볼 가치가 있는 ‘수학적 사고’를 탁월하고 유쾌하게 풀어냈다 !
― 최영기 | 서울대학교 수학교육과 교수

수학 교육 현장에서 종종 듣는 질문이 있다. “그래서 수학은 도대체 어디에 쓰이나요?”
그동안 나는 이 질문에 직접적인 답을 피하고는 했다. 이 질문은 마치 “그래서 공기는 도대체 어디에 있나요?”와도 같아서, 고작 공중에 손을 휘저어 작은 바람을 만들고서 “여기에 있다”라고 말하는 정도로는 충분한 답이 될 수 없었기 때문이다.
하지만 이 책의 저자는 ‘수학의 쓸모’에 대한 질문에 아주 영리하고 효과적인 답을 찾아낸 듯하다. 저자는 수학자들이 오랫동안 관심을 가져온 실생활의 문제들을 제시하고, 그에 대한 해답을 간명하게 풀어낸다. 책에서 소개하는 문제 상황을 하나씩 해결하는 과정에서 독자는 수학이 주는 카타르시스를 깊이 느낄 수 있다. 누구나 호기심을 느낄 다양한 주제의 선정, 수학에 문외한인 사람도 쉽게 이해할 수 있는 친절한 서술은 이 책의 분명한 장점이다.
저자의 집요한 손바람은 결국 책 끝에 이르러서는 독자 누구나가 스스로 달리도록 하는 힘찬 원동력이 되어준다. 마침내 ‘수학의 쓸모’를 알게 된 독자는 온몸으로 바람을 느끼며 깨닫게 될 것이다. “내가 있는 모든 곳에 수학이 있었구나.” 세상 모든 곳에 공기처럼 존재하는 수학을 우리는 어떻게 볼 수 있는가? 궁금한 모든 이에게 이 책의 일독을 자신 있게 권한다.
― 이상엽 | 수학 유튜버, 《매스매틱스》 저자

◎ 본문 중에서

우리는 우주가 법칙을 따른다는 것을 알고 있다. 그 법칙은 과학이라고 불리고 수학이라는 언어로 표현된다. 그 수학 언어의 법칙이 바로 방정식이다. 은하가 형성되는 것이든 어린아이 얼굴에 주근깨가 생기는 것이든, 모든 것은 이 방정식의 결과를 따른다. 본능에 주로 의존하는 사람이든 질서를 우선시하는 꼼꼼한 사람이든, 그들 삶의 모든 부분을 지배하는 것이 방정식이다. 방정식은 우리가 자기를 이해하든 말든 상관하지 않지만, 우리 주변을 포함하여 우주에서 일어나는 모든 일을 통제한다. 그러니 방정식의 세계와 좀 친해지고 볼 일이 아닐까? (11쪽)

휴리스틱 이론을 이용한 해결법을 찾아보자. 이 방법은 사물을 관찰해 특정한 문제의 해결책을 개선하는 방법을 말한다. 이 방법으로 문제가 완벽하게 해결된다는 보장은 없지만, 어떤 방법으로든 보안요원의 수만 줄일 수 있다면 의뢰인은 만족할 것이다. 전시실 평면도를 자세히 보면 보안요원 1명이 전시실 대부분을 지켜볼 수 있는 위치가 몇 군데 있다는 사실을 알 수 있을 것이다.
예를 들어, 다음 그림에서와 같이 한 지점에서는 어둡게 칠한 부분들을 제외하고 전시실의 모든 부분을 볼 수 있다. 그렇다면 이제 이 어둡게 칠한 부분을 감시할 보안요원을 추가로 배치하면 된다. 다음의 위치에 보안요원을 배치하면 어둡게 칠한 곳의 대부분을 감시할 수 있다. (38쪽)

프랭크 드레이크는 SETI가 시작되기 훨씬 전부터 외계 지적 생명체를 탐사하는 작업에 도움을 준 미국의 천문학자다. 그는 우리 은하에 인간과 접촉할 수 있는 외계 문명이 얼마나 있을지 계산하는 유명한 방정식을 만들어내기도 했는데, 그 방정식은 다음과 같다.
N = R* fp nefl fi fc L (52쪽)

5,000여 년 전 농경의 도입과 함께 사람들이 집단 거주를 하기 시작할 때부터 인류 그리고 인류가 반응하는 방식은 과학자, 수학자, 경제학자, 정치인들의 관심사였다. 수학자들은 사람들의 반응방식을 방정식 체계, 즉 모델로 해석한다. 데이터를 입력해 특정 조건하에 어떻게 반응하는지 예측하기 위해서다. 이 모델은 인구 증가 주기의 설명, 작물 수확량과 유권자들의 투표 성향 예측 등 다양한 용도로 쓰인다. 특히 흥미로운 것은 이 모델이 질병의 전파와 영향을 예측하는 데에도 사용된다는 사실이다. 당신은 시장을 연임할 만큼 선거에 관한 한 전문가여서, 좀비 창궐을 일종의 질병으로 모델링하면 이 질병이 모들턴 시민에게 미치는 영향을 알아낼 수 있다는 사실을 알고 있다. 또한 당신은 이 모델이 미분방정식이라는 방정식에 의존한다는 것도 알고 있다. (55쪽)

짐을 효과적으로 싸는 능력은 우리 문명에서 매우 중요한 역할을 한다. 예컨대 항공사들의 수화물 용량 제한에 맞추는 것을 비롯해 화물과 상품을 전 세계로 수송하는 일이 그렇다. 이 글을 쓰고 있는 지금도 승합차 트렁크에 최대한 많은 공간을 확보해 짐을 채울 수 있는 수학적 알고리즘은 아직 존재하지 않는다(이런 알고리즘을 만들어낸다면 부르는 게 값일 테고, 당신의 이름은 역사에 길이길이 남을 것이다). 하지만 상자 안에 길고 똑바른 물건을 집어넣는 거라면 그건 피타고라스가 다 해결할 수 있다. (86쪽)

악수 문제는 연구가 많이 된 수학 분야로, 해결 방법이 다양하고 재미있기로 유명하다. 당신의 문제를 풀기 위해서는 사진을 몇 장이나 찍어야 하는지 알아야 한다. 사람들이 몇몇씩 모여 있는 작은 그룹들을 살펴보고 악수를 몇 번이나 해야 하는지 알아보자. (217쪽)

좌석 배치 계획을 짜는 데 수학을 이용하는 것이 이상하게 보일지도 모르겠다. 하지만 좌석 배치 문제는 수학자들이 오랫동안 관심을 가져온 문제다. 예를 들어, 1800년대 후반에 제기된 메나쥬 문제Ménage Problem(커플 문제)라는 것이 있다. 결혼한 사람들의 모임에서 원탁에 남자와 여자를 번갈아 앉히면서 부부는 서로 옆에 앉히지 않을 방법이 몇 가지나 되는가 하는 문제다.
구성은 간단하지만 답을 내기는 꽤 까다로운 문제다. 당시 수학자들에게는 아무리 이론상이라고 하더라도 여성을 먼저 앉히지 않는다는 것은 생각도 못 할 일이었기 때문이기도 하다. 이런 상황이 문제를 더 복잡하게 만들어 프랑스 수학자 자크 투샤르Jacques Touchard 가 최초의 해답을 내놓기까지 40년이 넘게 걸렸다. 여성을 먼저 고려하지 않는 훨씬 간단한 답은 1986년 미국의 케네스 보거트Kenneth Bogart와 피터 도일Peter Doyle이 발표했다. (229쪽)

타조알 안에서 열이 흐르는 주된 방식은 전도다. 열전도율은 물질이 열을 얼마나 잘 전도하는지를 나타내는 척도로, 얼마나 많은 열에너지가 두께 1m의 물질을 통과해 온도 1K를 올리거나 내리는지에 의해 정의된다. 단열재는 열전도율이 낮다. 공기는 열전도율이 0.026W/mK로 좋은 단열재다. 공기를 단열 수단으로 많이 사용하는 이유가 이 때문이다. 가장 좋은 단열 수단은 진공을 이용하는 것이다. 진공상태에서는 열전도 자체가 일어나지 않는다. 우주선의 문제 중 하나가 이것이다. 우주선은 열을 공간으로 복사만 하지 전도하지 않기 때문이다. 전도체는 열전도율이 높다. 냄비와 프라이팬 재료로 많이 쓰이는 구리의 열전도율은 약 384W/mK다.
구리보다 훨씬 좋은 것은 다이아몬드다. 다이아몬드의 열전도율은 1,000W/mK가 넘지만, 냄비나 프라이팬을 만들기에는 좀 비싼 게 흠이다. 알을 삶는 데 필요한 방정식은 복잡한 기하학 요소와 열역학 요소를 포함한다. 보면 알겠지만 괴물 같은 방정식이다. (241쪽)"