수학이 좋아지는 수학

통계, 삼각함수, 허수, 지수함수, 로그, 미적분…
세상을 이해하는 데 도움이 되는 수학적 통찰들
특유의 유머, 대중적 글쓰기, 타고난 이야기꾼의 수학책

“수학은 유머, 그러니까 재담이다. 내가 농담한다고 오해하지 마라. 재담을 듣고 ‘알아먹어야’ 웃을 수 있는 것처럼, 수학도 ‘알아먹어야’ 한다. 필요한 정신적 과정이 똑같다. 한번 생각해보자. 재담은 짜임새와 결정타가 있다. 당신은 재담을 귀 기울여 듣다가 결정타에 이르고, 그때 웃음을 짓는다. 수학도 짜임새와 결정타가 있는 이야기이다. 물론 주인공은 수, 도형, 기호, 패턴이다. 우리는 수학 이야기를 보통 ‘증명’이라고 부르고 결정타를 ‘정리’라고 부른다. 당신은 증명을 따라가다가 결정타에 도달한다. 오호라! 바로 이것이로군! 당신의 신경세포들이 불꽃놀이처럼 점화한다. 밀려드는 지적 만족감에 지금까지의 힘든 과정을 잊고 당신은 미소를 짓는다.” _본문 중에서

알렉스 벨로스의 『수학이 좋아지는 수학』(원제 : Alex Through the looking-glass)은 세상을 이해하는 데 도움이 되는 수학을 맛깔스럽게 소개해주는 책이다. 미적분, 통계, 삼각함수, 지수함수, 로그 등 중요한 수학 주제를 모두 다룬다. 현실과 동떨어진 수학이 아니라 현실세계를 이해하는 도구로서의 수학을 전면에 내세우고는, 특유의 유머러스하고 가독성 있는 문체로 대중의 눈높이에 맞게 수학 이야기를 이끌어나가는 게 특징이다.
저자는 우리가 어떻게 수에 의지하여 세계를 이해하고 있는지를 이야기하기 위해, 정신과 의사처럼 수에 대한 사람들의 감정을 분석하기도 하고, 고대 그리스까지 역사를 거슬러 올라가는가 하면, 자기복제를 할 수 있는 격자들의 디지털 우주까지 건드린다. 아스퍼거증후군 환자인 택시 운전자, 권총을 항상 소지하고 다니는 금융 조사관, 프랑스의 비밀 수학 집단의 단원, 필즈상 수상자, 우주선 기술자, 대학의 수학과 교수 등에게서 직접 들은 경험적이면서도 실감나는 수학 이야기도 한 보따리 풀어낸다. 건축, 브랜드 홍보, 회계 부정 감시, 전 지구 위치 확인 시스템(GPS), 음향, 금융 상품, 레이더 기술 등에서 어떻게 수학적 개념들이 응용되었는지도 구체적으로 소개해준다. 언제, 어디서나 만날 수 있는 수학의 면모를 과감 없이 드러내는 책.

보통 사람들을 위한 수학 법칙들
삶과 수는 어떻게 서로를 반영하는가?

▲ 1이 다른 수(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)보다 훨씬 더 많은 까닭은?
△ 스마트폰은 어떻게 우리의 위치를 알려줄까?
▲ 최상의 결혼 상대자를 선택하는 최선의 전략은?

다양한 수학 주제들을 탁월하게 소개하는 저자의 솜씨는 감탄을 자아낸다. 저자는 “수학은 모든 지식 분야를 통틀어 가장 재미있는 과목이다. 수는 늘 도구였을 뿐만 아니라 또한 장난감이었다”라고 언급하면서, 하나둘 씩 흥미로운 이야기 보따리를 풀어놓는다. 저자가 강조하는 것은, 수학이 세계를 이해하는 데 유용할 뿐 아니라 세계를 더 많이 즐기는 데도 유용하다는 점이다.
가령, 벤포드의 법칙은 조작된 통계 자료나 회계 부정을 알아채게 해준다. 벤포드의 법칙은 머리 숫자 1이 가장 많고, 그 다음으로 2가 많고, 그 다음으로 3이 많은 식으로 계속 빈도가 줄어서 결국 9가 가장 적다는 것을 법칙이다. 신문을 봐도, 인구 표를 봐도, 야구 통계를 봐도 이 법칙은 거의 대부분 들어맞는다. 처음엔 믿기 힘들겠지만, 벤포드의 법칙은 이미 수학적으로 증명되었다. 회계 장부의 숫자들을 조작할 경우, 벤포드의 법칙에 어긋나는 결과를 보여줄 가능성이 높은데, 이는 데이터에 문제가 있다는 사실을 시사해준다. 실제로 회계 부정을 저지른 미국의 재무상담사 웨슬리 로즈는 투자자들에게 조작한 데이터를 보내서 적발되었는데, 이렇게 적발된 것은 그의 데이터가 머리 숫자 검사를 통과하지 못했기 때문이다.
지프의 법칙과 파레토의 법칙도 세상에 대한 시각을 교정해주는 수학 법칙 중 하나다. 지프의 법칙을 아주 거칠게 설명하자면 이렇다. 제임스 조이스의 『율리시스』에 사용된 단어들을 사용빈도에 따라 순위를 쭉 매기면 사용빈도가 순위에 반비례하는 것을 발견할 수 있다. 이처럼 데이터에서 빈도가 순위에 반비례하는 법칙을 지프의 법칙이라고 한다. 파레토의 법칙은 한 국가에 속한 모든 사람의 재산에 순위를 매겼을 때, 재산이 순위에 반비례한다는 것을 보여주는 법칙이다. 이들 수학 법칙에 따르면, 전체 인구 중 극소수만 부유하고 대다수는 가난하다. 가장 큰 도시에 대부분의 인구가 거주하며, 소수의 책만 베스트셀러가 되고, 소수의 영화만 흥행작이 된다. 단어 사용 빈도, 재산의 분포, 책 판매량 등 갖가지 데이터들은 우리가 사는 세계가 양극단으로 치우쳐져 있다는 것을 극명하게 보여준다.
그러면 삼각함수는 어디에 쓸모가 있을까? 사인, 코사인, 탄젠트로 나타내는 삼각비 표만 가지고 있으면, 직접 산이나 건물에 올라가지 않더라도 산과 건물의 높이를 알 수 있고, 지구 반지름까지 계산해낼 수 있다. 삼각측량을 통해 정밀한 지도도 만들 수 있다. 너무 머나먼 이야기처럼 느껴지는가? 멀리, 지구 반지름 측정이나 지도 제작까지 갈 필요도 없다. 인공위성에 기초한 전 지구 위치 확인 시스템(GPS) 덕분에, 우리는 스마트폰과 차량용 내비게이션의 위치를 정확히 알아낼 수 있는데, 이것이 가능한 이유는 우리의 기계 속에 삼각비 표가 저장되어 있기 때문이다. 내 스마트폰이 자신의 위치를 계산하려면, 최소 4개의 위성으로부터 데이터를 수신한 다음에 자체 메모리에 저장된 사인 표와 코사인 표를 참조해 그 데이터를 처리해야 한다.
가깝게는, 건축물에서도 수학을 발견할 수 있다. 현수선을 이용한 건축물은 수학의 실용적인 면모를 두드러지게 보여주는 사례 중 하나다. 현수선은 두 점 사이에 매달린 축 늘어진 끈의 곡선을 말한다. 공중에 매달린 사슬, 빨랫줄, 거미줄은 모두 현수선이다. 이 현수선을 나타내는 방정식에는 지수상수 e가 들어 있는데, 현수선이 지수적 성장 곡선과 지수적 붕괴 곡선의 평균이기 때문이다. 흥미롭게도 뒤집힌 현수선은 현수선 내부의 압축력이 현수선과 나란한 방향으로 작용하기 때문에 현수선을 변형시키는 힘이 발생하지 않는다. 그래서 아치를 현수선으로 만들면, 아치의 무게가 아치의 모양을 유지시키게 된다. 이는 모양을 유지하기 위한 별도의 버팀목이 필요하지 않다는 말이다. 안토니오 가우디가 건축한 바르셀로나 성가족성당, 미주리 주 세인트루이스의 게이트웨이아치, 런던의 스위스 리 빌딩, 베를린 연방의회 건물, 프랑스 미요의 현수교 등은 이런 현수선의 특성을 활용한 건축물들이다.
수학은 결혼 상대자를 결정하거나 직원을 뽑는 데에도 도움이 된다. 예를 들어, 당신이 사장으로서 후보자 20명의 면접을 봐야 하는데, 후보자를 선택하는 순간 이후의 후보자들은 면접할 수 없을 경우, 당신은 어떤 방법으로 후보자를 선택해야 할까? 만약 당신이 마지막 후보자를 만나기 전까지 결정하지 못한다면 무조건 마지막 후보자를 뽑아야 하는 상황이다. 당신이 취할 수 있는 최선의 전략은 전체 후보자들의 36.8%를 만나본 다음, 그들보다 더 나은 후보자가 나타났을 때 그(녀)를 선택하는 방법이다. 이 방법으로 최고의 후보자를 선택할 확률은 36.8%이다. 이 방법은 다른 어떤 방법보다 수학적으로 우월한 전략이라고 한다. 물론 현실 세계에서, 사장은 앞에서 면접한 구직자를 다시 부를 수 있지만 말이다. 그러나 ‘최적 멈춤 이론’과 관련된 이런 수학은 아주 다양한 순간에 활용될 수 있다. 손해를 보더라도 주식을 팔아야 할 시점이나, 스톡옵션을 행사할 시점, 의사가 환자에게 특정 처방을 중단해야 할 시점, 화석 연료 사용을 중단할 최적 시점 등등 온갖 곳에 두루 적용될 수 있다.
이처럼 이 책에는, π와 i, e, 미적분, 벤포드의 법칙, 지프의 법칙, 삼각비, 현수선 방정식과 같은 수학 기호나 법칙들이 하나 가득 등장한다. 그러나 결코 긴장할 필요가 없다. 느닷없이 등장하는 수학 기호나 방정식은 없다. 술술 읽히는 스토리 속에서 수식이 자연스러운 표정으로 등장하기 때문에, 텍스트에 몸을 싣고 읽어내려가다 보면 수학적인 내용이 편하게 다가오는 것을 느낄 수 있을 것이다. 그만큼 대중의 눈높이에 맞춰 최대한 친절하게 서술되어 있다. 설혹, 당혹스러운 대목을 만나게 될지라도, 다음 장의 첫 머리로 건너뛰면 된다. 첫머리의 난이도는 기초 수준이어서 당혹감을 금세 잊을 수 있을 것이다. 심지어 미적분학에 관한 이야기들도 술술 잘 읽힌다.

추천사
“수학적 발견의 짜릿함과 경이감.”_선데이 타임스

“알렉스는 수학을 이야기하면서 주눅 들지 않을 수 있는 드문 사람이다.” _ 에반 데이비스

“알렉스 벨로스는 친절하고 박식하고 명쾌한 수학 길잡이이다. 그와 함께 수학의 세계를 흥겹게 누빌 기회가 다시 한 번 왔다.” _ 이언 스튜어트