이상한 나라의 미적분

세상에서 가장 친절한 미적분 수업
이보다 친절한 순 없다!

이 책은 상상의 막대기에서 이야기를 시작한다. 부분과 전체가 완전히 똑같은 막대기, 틈이 없는 이 막대기는 수의 성질과 닮아 있다. 저자는 이 막대기로 수와 미적분의 어려운 성질들을 쉽게 설명해 주는데 비유와 설명이 이보다 친절한 책은 찾기는 어려울 것이다. 이 상상의 막대기는‘바로 옆 위치에 대해 말할 수 없다.’(_본문 20쪽), 그리고 ‘유한한 영역 안에 무한한 위치가 존재한다.’(_본문 21쪽) 도대체 이게 무슨 말인가 싶지만 이 성질들 또한 엄연한 수학이고 미적분이다. 우리는 수학을 ‘상식적’으로만 생각했었기에 어려워 보였는지도 모른다. 수학과 미적분을 조금만 비틀어 보면 오히려 쉬워질 것이다. 이 책이 그 이상한 나라의 미적분 세계로 친절히 안내해 줄 것이다.


“미적분은 정말 이상해,
그런데 재미있고 매력 있어!”

미적분은 의외로 비상식적이다. 저자는 오랜 시간을 들이고 나서야 미적분이 우리의 상식과는 다르다는 결론을 내리게 되었다. 말이 안 되는 세상에서의 일을 받아들이려니 이해되지 않았던 것이다. 미적분이 비상식적이라는 점을 인정하니 비로소 원리를 이해할 수 있었다. 그리고 자신처럼 미적분 때문에 고통을 받는 이들에게 도움을 주고자 이 책을 썼다.

미적분을 이해하지 못했던 것은 제게 문제가 있었던 게 아니라, 미적분이 상식적이지 않기 때문이었어요. 이상한 걸 곧이곧대로 이해하려고 했으니 받아들일 수 없었던 게 당연했어요. 이렇게나 수학이 이상한데, 저는 수학만큼 정확한 학문은 없다는 말들에 현혹되어, 수학을 이해 못하는 것을 제 머리 탓으로만 여겼던 거예요.
_<이상한 나라로 들어가며> 중에서

비상식적이고 이상한 것의 예로는 3.999… = 4 가 있다. 우리가 그렇게 배웠고, 수식으로 증명도 된다. 그런데 한 치의 오차도 없이 정확하다는 ‘수학’이 어째서 이러한 것을 허용했을까? 이토록 이상한 의문을 이 책은 하나하나 풀어가며 미적분의 기초를 완벽히 잡아 준다. 이상한 미적분을 상상으로 풀어가는 대목이 있는데, 이런 요소를 <해리 포터>의 텐트에 비유하여 읽는 재미를 더했다.

“해리, 어떻게 이렇게 작은 텐트 안에 이렇게 넓은 공간이 있을 수 있어?
도대체 어떤 원리가 숨어 있는 거야?”
아마도 해리는 조금 부끄러워하면서 이렇게 답할 것 같아요.
“음, 이건 어떤 원리라기보다는……. 그냥 마법인데. 미안, 나도 왜 그렇게 되는지는 잘 모르겠어. 그런데 마법의 세계에서 이런 일은 자연스러운 일인 것 같아.”
앞에서 살펴본 상상의 막대기의 성질들은 우리에게 굉장히 낯설고 이상하게 느껴져요. 하지만 해리가 마법의 세계를 인정하고 받아들였던 것처럼 우리 역시 이 성질이 미적분의 세계에서는 자연스러운 일임을 받아들이는 것으로부터 시작할 거예요.
_본문 23쪽


화살표 기차로 여행하는
진짜 미적분 세계

이 책의 주인공은 화살표이다. 화살표를 연결한 ‘화살표 기차’를 통해 미적분을 설명할 수 있다. 우선 화살표를 알아보기 위해 화살표의 ‘기본’부터 설명한다. 화살표의 성질, 화살표를 합하는 순서, 합하는 방법은 물론이고 화살표의 종류를 방향 화살표와 일반 화살표로 나누어 그래프를 그려 본다.

저는 이 책의 주인공인 화살표를 통해 미적분 세상의 이상한 부분들을 최대한 현실적으로 살펴볼 거예요. 화살표를 따라서 상상해 보면 적분이 단순히 넓이를 구하는 게 아니라는 점을 이해하게 될 거고, 자연스럽게 미분이 뭘 하는 작업인지 알 수 있을 거예요. 그러고 나면 미분과 적분이 왜 반대의 작업인지도 알게 될 거고요.
_ <이상한 나라로 들어가며> 중에서


미분과 적분은 짝꿍
미적분 본질 파헤치기

미분과 적분은 짝꿍이다. 간단한 식을 기술적으로 미분과 적분을 하는 방법은 비교적 쉽다. 하지만 이 책은 수식을 푸는 것에 집중하지 않고, 이 짝꿍을 찾아가는 ‘과정’을 하나부터 열까지 상세히 설명해 준다. 이것을 이해하고 나면 왜 미분과 적분이 ‘반대’ 작업이 되는지 한결 더 와닿을 것이다. 화살표, 수식, 그래프를 곁들인 설명이 모두 이상한 나라의 미적분 세상에 모여 미적분의 진짜 모습을 제대로 보여 준다.
그리고 이 책에서는 적분의 두 가지 본질도 다시 바라본다. 많은 사람이 적분을 오직 넓이를 구하는 작업으로만 알고 있지만, 넓이는 적분의 두 가지 본질 중 하나일 뿐이다. 적분의 또 다른 본질인 ‘변화를 쌓는 작업’도 함께 살펴본다.