숫자와 계산은 어떻게 시작됐을까?

실제로 수학은 우리가 사는 세상, 우리가 만들고 변화시키는 세상, 그 세상의 일부가 되는 길잡이 역할을 한다. 그리고 세상은 점점 더 복잡해지고 있으며, 우리를 둘러싼 불확실한 환경이 더욱 급박하고 위협적으로 변함에 따라, 우리가 직면하는 위험을 설명하고, 해결을 위한 계획을 세우는 데 반드시 수학이 필요하다. 아이들은 학교에서 셈을 하고 계산하고, 측정하는 방법을 배운다. 아이들이 학습하는 이런 기술은 지극히 ‘기본적인’ 것으로 보일지도 모른다. 그러나 학습자들에게는 미스터리로 가득하다. 특히 큰 숫자에 이르렀을 때, 숫자에 대한 명칭은 무슨 주문처럼 느껴지기 쉽다. 100까지 세는 것은 지루하지만 1,000까지 세는 것은 산을 오르는 것과 같다! 가장 큰 숫자, 즉 마지막 숫자는 뭘까? 어떻게 숫자를 하나씩 불러내어 그 숫자들에 이름을 붙일 수 있을까?
아마도 몇 개의 숫자만으로도 충분할지 모른다. 어떤 동물들은 대여섯 개 또는 일곱 개까지 서로 다른 물품을 인식할 수 있다고 하는데, 이것은 그들에겐 단지 ‘다수’일 뿐이다. 하지만 만약 숫자가 계속된다고 한다면, 새로운 명칭을 무한정으로 만들어낼 수는 없을 것이다. 다코타 인디언의 언어는 기록이라기보다는 표기에 가까웠다. 이들 표기는 천에 새겨졌고 상형문자는 검은 잉크로 그렸다. 매년 새로운 상형문자를 추가해서 지난 해의 주요 사건들을 보여주었다.

수의 역사를 탐색하다

글이 없는 문화에서도 셈을 효과적으로 할 수 있다. 그러나 계산을 하기 위해서는 기억력과 특별한 기술이 필요하다. 각 문명들 사이에서 글쓰기가 퍼지면서 매우 정교한 또 다른 체계들이 나타난다. 아즈텍인들은 4가지의 기본 기호와 함께 20가지의 체계를 사용했다. 1은 옥수수 꼬투리를 지정하는 작은 방울로 표시했다. 20은 깃발로 표시했다. 400은 옥수수 식물로 지정 표시했다. 8000은 옥수수 인형으로 기호화했다. 이 기호들은 모든 종류의 숫자를 나타내는 데 사용할 수 있었다. 마야인의 숫자 체계에는 3개의 기호만 있었다.
고대 이집트인(기원전 4000~3000년경)들은 숫자를 표기하기 위해 상형문자를 사용했다. 바빌로니아인(기원전 2000년경)은 60과 그 배수를 기반으로 하는 체계를 사용했다. 고대 중국(기원전 1400년~1100년경)은 1에서 10, 100, 1,000, 10,000을 기호화한 십진법 숫자 체계를 사용했다. 기원전 3세기경에, 중국인들은 막대 또는 직선을 이용하여 숫자의 형태를 발전시켰고, 이를 수직 또는 수평으로 놓아 1에서 9까지를 나타냈다.
인도인들은 세 가지 다른 유형의 숫자 체계를 개발했다. 카로스티(Kharosthi, 기원전 400년~200년)는 10과 20에 대해 기호를 사용했고, 숫자를 100까지의 숫자는 덧셈으로 만들었다. 브라흐미(Brahmi, 기원전 300년)는 1, 4, 9, 10, 100, 1,000 등 의 숫자에 별도의 기호를 사용했다. 괄리오르(Gwalior, 850년)는 숫자 1부터 9까지, 그리고 0을 나타내는 기호를 사용했다.

수학적 원리를 정치‧사회‧ 문화적 관점으로 풀어내다

기원전 7세기부터 그리스인들은, 인간과 신의 관계에 대한 종교적 질문에서, 자연법칙에 대한 조사를 점진적으로 분리했다. 정치가이자 수학자인 밀레토스(Miletos, 기원전 624)는 아리스토텔레스가 이집트에서 그리스로 수학을 가져 왔다고 주장했다. 이러한 사고방식은 이후 모든 그리스 과학과 수학을 특징 짓게 되었다. 그리스인들은 하늘과 땅에 대한 설명을
위해 자연이론을 탐구했다.

피타고라스 추종자들은 조화는 악기가 가진 현의 길이의 비가 만들어낸다는 사실을 발견했다. 옥타브는 두 줄의 현으로 만들어지며, 하나는 다른 하나의 절반 길이이고, 5번째 줄의 경우, 그 비율은 2:3이다. 피타고라스는 자신의 이름을 따서 명명한 피타고라스의 정리로 유명한데, 직각 삼각형에서 직각을 낀 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱, 즉 a2 + b2 = c2
와 같다고한 것으로 유명하다. 우리가 보았듯이 이것은 이미 잘 알려져 있지만, 피타고라스가 일반적인 증명을 처음 시도한 사람이라고 추측할 수 있다

숫자 영(0)은 비교적 늦게 발명된 것서기 6세기경으로, 중국과 힌두 문명의 공동 산물인 것으로 보인다. 중국인들은 자릿값을 표기하기 위해 그것들을 필요로 했는데, 그들은 ‘이백오’라는 숫자에서 공백을 어떻게 나타냈을까? 단지 25로 표기하는 것은 틀리기 때문에, 그들은 2-5처럼 빈 곳을 ‘채울’ 무언가가 필요했다. 그러나 ‘0’의 완전한 의미는 ‘공공백’에 대한 철학적 추측이 고도로 발달한 인도 문명에서 발전되었다.

일찍부터 거듭제곱은 기하학적 의미에서 ‘평방’ 및 ‘입방’으로 묘사하기도 했다. 당연히 2, 3, 4 또는 5 대신에 어떤 숫자도 들어갈 수 있다. 임의의 수를 n이라 하면 Xn은 X의 n제곱이라고 한다. 무슬림 수학자 이븐 야햐 알 사마왈ibn Yahya al-Samaw’al(1175년 사망)은 19세의 나이에 자신의 저서 《대수학의 탁월함al-Bahir fi’l-jabr》을 썼다. 그는 여기서 0제곱 정의를 처음으로 도입했다.
한 때는 돌로 계산을 한 적이 있었다. 고대 그리스 인들은 조약돌을 사용하여 기초적인 계산을 했다. ‘켈큘레이트(calculate)’라는 영어 단어의 어원은 ‘조약돌’을 의미하는 라틴어 켈큘러스(calclus), 미적분이다. 얼마 전까지 줄에 구슬을 꿰어 만든 주판은 가장 널리 쓰인 계산 도구였다. 오늘날에도 숙련된 주판 사용자는 디지털 키보드 작업자가 키를 두드리는 것보다 더 빠르게 구슬을 다룰 수 있다!

측정은 수학에서 필수적인 부분이다. 우리는 시간부터 치수, 무게, 용량, 크기, 높이, 전기 열과 빛까지 거의 모든 것을 측정한다. 심지어 이원자원자보다 더 작은 입자 에너지와 별까지의 거리도 측정한다. 요즘은 지능을 측정하고 환경과 같은 바람직한 일의 가치를 측정하기도 한다.

유클리드의 발상은 서양 수학에 큰 영향을 미쳤으며 최근까지도 기하학의 기초가 되고 있다. 그는 눈금자와 나침반원호를 그리기 위해과 같이 이상적인 도구를 사용하여, ‘작도’에 기반한 증명이라는 전통을 체계화했다. 이를 통해 수치로 나타내지 않고서도 숫자와 도형에 관한 것들을 증명할 수 있었다. 이는 그리스 수학의 일대 변화였는데, 일반적이고 추상적인 방식으로 증명한다는 발상이었다.

중국인들은 기호를 사용하지 않고 말로 표현하여 대수학을 사용했다. 그들은 대수학뿐만 아니라 다른 수학적 탐구에도 계산판을 사용했다. 송나라(960~1279)에 이르러서 그들은 x와 같은 고차원 방정식을 다룰 수 있는 표기법을 개발해냈다. 그리고 연립일차방정식(두 개 이상의 미지수를 갖는)과 2차 방정식을 풀 수 있었다.

대수학은 인도의 가장 위대한 수학자 중 한 명인 브라마굽타(Brahmagupta, 598년)가 있던 시절에 수학의 한 분야로 분리되어 나타났다. 그는 제곱근과 세제곱근, 분수, 3, 5, 7 등의 법칙 및 물물교환과 같은 주제를 다루는 수학 논문을 썼다. 이 시기에 방정식은 1차(yavat-tavat), 2차(varga), 3차(ghana), 4차(varga-varga)와 같이, 오늘날 우리가 인정할 만한 체계로 분류되었다.